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Vou dar um relato mais completo do meu caso porque talvez ajude outras pessoas. Porém, nem todos os problemas de bateria são idênticos e terão as mesmas soluções. Por isso, eu recomendo que cada pessoa procure as alternativas mais simples e baratas antes de partir para as mais radicais (troca de bateria, troca de aparelho etc).
Como eu disse no início do tópico, após a instalação do iOS 9.3.1, meu iPhone 6 passou a apresentar um comportamento estranho da bateria. Não era simplesmente um descarregamento rápido ou um consumo mais intenso do que o normal. Ele começou a desligar mesmo tendo bateria (até com 90% de carga), indicando que não tinha mais  carga e quando conectado no carregador ligava com a carga lá em cima e depois funcionava novamente por mais algum tempo. Foi nessa época que eu abri o tópico aqui. Pelo app Battery Life, a capacidade máxima dela estava em 800 mAh, com 572 ciclos, quando o novo vem com 1751 mAh.
Levei o aparelho em uma assistência técnica autorizada da Apple e em outro local de reparo, mas não senti firmeza na avaliação inicial dos técnicos e preferi fazer o contato novamente com o suporte direto da Apple. A primeira informação que eles haviam me dado era de que a bateria havia sido danificada pelo download de dois apps. Depois, outro atendente falou que não era isso, mas pelos testes que pediu para eu fazer confirmou que a bateria estava com problema.
O aparelho não estava mais na garantia (foi comprovado da Vivo em janeiro/15). Mandei pelo correio para a Apple e recebi o aparelho de volta em 10 dias. A troca da bateria e de outro componente associado custou R$ 299.

Lincoln, eu fiz esse procedimento. No meu caso, não funcionou. Inclusive, eu cheguei a usar o iphone por um dia sem instalar nenhum aplicativo, só por via das dúvidas, e continuava apresentando o mesmo problema.
Então, no caso do meu iphone, não tenho dúvidas de que havia um problema com a bateria ou algum outro componente associado. A questão que fica é saber como esse problema foi causado. Aí já é outra história...

Eu mandei para a assistência da Apple, que substituiu a bateria. O problema foi resolvido.